位移

  1. 位移在一维直线坐标系中的表示

    $\Delta x=x_2-x_1$

    其中，$\Delta x$为位移，起始位置为$x_1$，停止位置为$x_2$。

速度和速率

速度

  1. 速度的表达式

    $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

    其中，$v$为速度，$x$为位移，$t$为发生这段位移所用的时间。

    速度是矢量。

    P.S. 速度一般指瞬时速度。

  2. 平均速度的表达式

    $\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

    其中，$\bar v$为平均速度，$\Delta x$和$\Delta t$分别为位移和发生这段位移所用的时间。

    P.S. 平均速度是对物体运动方向和快慢的粗略描述。

  3. 瞬时速度的表达式

    $\lim\limits_{\Delta t\to0}$ $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

    当$\Delta t$无限小时，算出来的速度就是物体在这个瞬间的瞬时速度。

    P.S. 瞬时速度是对物体运动方向和快慢的精确描述。

速率

  1. 速率的表达式

    $v_{速率}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

    与速度不同，在速率的表达式中，$s$为路程。

    因此，速率是标量。

  2. 平均速率和瞬时速率的表达式

    与平均速度和瞬时速度的表达式相似，不再赘述。

    $\bar v_{速率}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

    $\lim\limits_{\Delta t\to0}$ $v_{速率}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

加速度和匀变速直线运动

加速度

  1. 定义式：

    $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

    其中，$a$是加速度，$\Delta v$是速度变化量，$\Delta t$是发生这一速度变化所需要的时间。

    由此，加速度是矢量。

    P.S. 加速度与$\Delta v$和$\Delta t$无关，这里它们只用来计算加速度。

匀变速直线运动

  1. 速度与时间的关系

    $v_t=v_0+at$

    特别地：

    1. 当$v_0=0$时，$v_t=at$；
    2. 当$a=0$时，$v_t=v_0$。

    P.S. 在该公式中，$v_t$、$v_0$、$a$均为矢量，因此应用公式时应首先选取正方向。

  2. 位移与时间的关系

    $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$

    特别地：

    1. 当$v_0=0$时，$x=\frac{1}{2}at^2$
    2. 当$a=0$时，$x=v_0t$

    P.S. 在刹车问题中，使用该公式计算位移需要先判断物体是否已经停止。

  3. 平均速度

    1. $\bar v=\frac x t$

      该式适用于任意情况。

    2. $\bar v=v_\frac t 2$

      该式仅适用于匀变速直线运动。

    3. $\bar v= \frac{v_0+v_t}{2}$

      该式也仅适用于匀变速直线运动。

  4. 位移差公式

    匀变速直线运动中，在任意相邻相等时间$T$内，位移差$\Delta x$是一个常量，即

    $\Delta x=x_2-x_1=aT^2$

    P.S. 该式可以用来判断物体是否作匀变速直线运动，也可以用来计算匀变速直线运动的物体的加速度。

  5. 自由落体运动

    是$v_0=0$，$a=g$的匀加速直线运动。

  6. 匀变速直线运动的规律

    1. $2ax=v_t^2-v_0^2$

    2. $v_0=0$时有：

      1. 按时间等分：

        • $v_1:v_2:v_3:…:v_n=1:2:3:…:n$
        • $x_1:x_2:x_3:…:x_n=1^2:2^2:3^2:…:n^2$
        • $\Delta x_1:\Delta x_2:\Delta x_3:…:\Delta x_n=1:3:5:…:2n-1$

      2. 按位移等分：

        • $v_1:v_2:v_3:…:v_n=1:\sqrt 2:\sqrt 3:…:\sqrt n$
        • $t_1:t_2:t_3:…:t_n=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:…:\sqrt{n}$
        • $\Delta t_1:\Delta t_2:\Delta t_3:…:\Delta t_n=1:\left(\sqrt{2}-1\right):\left(\sqrt{3}-\sqrt {2}\right):\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$

        P.S. $v_0$必须要为零！